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动态光散射检测电机转速的互信息函数分析

来源:英雄联盟盘口投注 点击次数:826 发布时间:2016-01-13

动态光散射检测电机转速的互信息函数分析

王沙,杨志安任中京

(济南大学理学院济南250022)

摘要:通过计算互信息函数,对动态光散射得到的电机转速的时间序列进行了分析。研究表明互信息函数法能 准确地测出电机转速。同时由于互信息函数自身的优点-能实际地反映出数据之间的相互关联因此,与自相关函 数法比较,互信息函数法可反映出更多的动力学信息。对实验数据的时间序列作了二维的相空间重构,从重构图形发现 系统有2周期行为,并呈现有一些新现象。

 关键词:光学测量;互信息函数;动态光散射;自相关函数;相空间重构

1引言

本文利用互信息函数对动态光散射法测电机转 速的实验进行了研究,准确测出了电机的转速。本 文对实验数据的时间序列作了二维的相空间重构, 发现了一些新的现象并进行了讨论。这些结果是以 往自相关函数法[1]分析中所没有的,文中比较了互 信息函数法与自相关函数法[2]两种方法的优劣。

2原理

Shannon的信息理论,设S表示组讯号为 S1 , S2 ,Sn的系统,出现Si的概率是Ps(nJ , i = 1, 2,, n。对另一组讯号为q , qi,  qn的系统Q , qj的概率是Pq(qj) ,j = 1 2 nq同时出 现的概率是Psq (Si, qj)。互信息的定义为:

 

I(S, Q)度量的是变量SQ之间的一般性关联程 ,或比值Psq(Si, qj) / Ps(Si) Pq(qj)的整体不平整 程度。互信息越大变量SQ之间的关联程度越强系统的不平整程度越高系统越不均匀互信息 越小变量SQ之间的关联程度越弱系统的不 平整程度越低,系统越均匀。

在光子互信息法检测电机转速的实验研究中, 主要关心的是测量数据随延迟时间T的周期性 而得出电机的转速。在计算中对某给定的延迟时间 T[s, q] = [x (t) , x (t + T)],这时互信息 I 延迟时间T的函数。

因为电机转动是周期性的动力系统,其状态随 时间的演化可表示成s = x(T) = sint,则延迟坐标可表示成q = x (t + T) = sin(t + T) 其中T是延迟时间。当延迟Ti = 0,q = x (t + T) = sin(t + 0) = sin t这时sq是同一变量,sq间的关联zui ,这时I( Ti;取极大值。设系统周期是r,h = t ,q = x (t + t) = sin (t + t) = sin t,使互信肩、 I(T2)又取极大值,则两个极大点之差乃Ti = t 即为系统的周期。所以只要找出互信息I的两个相 邻极大值所对应的极大点TiT2 ,其差值丁 = T2 -Ti就是系统的周期。当周期t确定后就可求出 转速。另外利用由互信息I( T)的极大值来确定周 ,易于辨别和计算。

3互信息的计算

互信息I(S , Q)的计算可用等间距划分空间格子的方法进行由给定的延迟时间T得到(s’q)作出s , q)平面(s’q)平面上重构出图形(例如 后面的重构图7) 再在图形上对欲求互信息I(S Q)所需的点集区域划出矩形框A^As 向的长度,AqAq方向的长度然后把A再等间 距地划分成小格子e。方向小格子的长度记为&s’s 方向小格子的数目为M所以As = Mes同理,q 向小格子的长度记为eq, q方向小格子的数目为MfA = M,eq。在A中小格子e的总数为M X m' (a b)是所划格子A的起始点对米样点(sq) 作下述判断:

若满足

表明(sq)在小格子ei中就进行一次记录直到 将所有的数据点全部搜寻一遍记录落入标号为(i j)的小格中所有的数据点同时记录落入范围 i - 1i内的点数Ns,和从j - 1j内的点数 Nq,即可得到Psq (si qj) = Nsq/ Ntotal Ps (si)= Ns/ Ntotal ’ Pq ( qj) = Nq/ Ntotal ’ 其中 Ntotal 是全部采 样点数。将Psqq代入公式1) 就可求出在给 定延迟时间T值下的互信息值I(S Q) [47]

在测电机转速的实验中,由于电机所带动的转 动圆盘不是完全均匀的,在转动的过程中,从其上面 散射的光就会呈现周期性。我们首先用探测器来接 收这些散射光,得到散射光的时间序列其次编制出 计算互信息的程序,计算出给定延迟时间T值下的

互信息值I( T) 得出互信息函数曲线;zui后利用互 信息函数曲线,求出转动的周期性,从而求出转速。

4实验装置

实验系统如图1所示。

 

1实验系统结构示意图

取样点处的光子数随时间的变化

 

3对实验数据的互 信息处理I-t图)

用直流电 动机带动圆盘 转动,电机转速 可调。圆盘散 射的光经过两 个光阑及透镜图2 的会聚由光电 倍增管接收,:

把光电数字信 号进行互信息 处理,就得出互 信息曲线。

在一定的 测量时间内,米 集的光子数随

时间变化的曲线如图2所示。从图3可以看出互信息处理周期变化的信号显现了出来。

5由实验数据计算电机转速

对电机施加不同电压电机得到不同转速。采集 某一转速下随时间变化的光子数用自编软件对采 集到的数据计算互信息函数。对确定的延迟时间T, 得到相应的互信息//对不同的延迟时间r,得到 不同的互信息值,可得到互信息的函数曲线。分析互信息函数欠曲线的周期特性,可计算出相应的转速。

对一组数据的互信息曲线(如图3)进行相应转速计算:由互信息极大点可知圆盘转动周期为25 *2ms,转速

n =60/ (25 X2 X10"3) = 1200(r/min)

所得结果与文献[2]所用的自相关函数(R表示)

 

4同一组实验数据的自相关函数图(R-t

见图4)所计算出的电机转速相同。这说明把互信 息函数法应用于动态光散射测电机转速的实验中 是可行的。

6相空间时间延迟重构原理

对时间序列进行动力学分析的一个前提,是必 须有一个可用于工作的相空间。由于不知道系统的 动力学方程或模型,而且从实际测量中仅能得到一 个单标量的时间序列,因而从这个单标量的时间序 列重构相空间,就成为时间序列分析的基础之一。

相空间重构的方法有多种zui常用的是 Packard[5]等人提出的时间延迟坐标的思想,重构出 所观测到的动力系统的相空间。他们指出,对一组 观测标量s (1) ,s(2) s ( n)中的某个值s ( n) 得到延迟T时刻后的测量值s(n + T) 然后使用这 种时间延迟的集合构造出一个d维矢量

x (n) = [s (n),s (n + T) ,s (n + 2 T) , ….., x(n + (d - 1) T)]

式中T为时间延迟;d为嵌入维。相空间重构的结 果应保留原系统的动力学性质和几何性质,这要求 重构变换是嵌入,这一点可由Takens[6]定理保证。 这时,这个矢量包含了原始的实际变量的动力学信息,这样就重构出了所需要的相空间。

 

7对实验数据的二维重构

Taken定理给出的仅是嵌入的充分条件为了计算互信息只需对系统进 行二维重构即 可。采集另一 转速下电机的 一组实验数据 进行二维重 延迟时间 T1取到 140,计算出互 信息值相应 的互信息函数 曲线是图5, 应的自相关曲线见图6

 

从这组数据测出的电机转速:由两个互信息相 邻极大值的间隔可知电机旋转周期为13 X2ms, 转速 n = 60/ (13 X2 X10-3) = 2307. 7r/min。从这 组数据的自相关函数图6可明显看出,自相关把噪 声抹平了,能很好地提取出系统的周期信号。而互 信息函数能反映出更多的动力学信息,由于噪声或 其他细节的干扰,周期性减弱,但仍能从两个相邻的 互信息极大值判断出系统所具有的周期特性。

选取几个延迟时间,做出二维重构图如图7(a)- (e)

T = 51 ,89两个互信息极大点处作出的重构图[如图7 (a) , (e)]

7对一组实验数据的相空间二维重构图

轨道基本上挤压在主对角线上,这时失真zui大,关联zui强。这个结果表明,所讨 论的系统是确定论的系统。当互信息处于相对较小值的点上做出的重构图,轨道开始展开。当互信息取极小值时重构图轨道整体展开到zui大[如图7 (b) ,(c)]。当T由小逐渐变大的过程中,轨道随着互信息值的增大而展开随着互信息值的减小而压缩;轨道随着互信息值的再增大而再展开,随着互信 息值的再减小而再压缩,不断重复此过程。这说明系统的动力学有周期性,互信息函数刻画了这种周期规律。

从图7(b)中可以明显看出,重构的曲线绕了两 圈后与自身重合,这反映了系统具有二周期特性,即 系统整体有一个大周期,里面还套着一个小周期。 这个结果表明,系统除了有整体的转动周期外,还有 因测试对象不是理想的转动,如电机本身的不均匀, 及测试对象不光滑,此外还有环境及噪声等其它因 素引起的附加的周期和非周期行为。

7(c)的重构图与图7(b)的重构图有明显的 区别,图7(b)中只有正向转动的行为,而图7(c) 除了有正向转动的行为外,还有逆向转动的部分。

另外它们的拓扑不同,主要表现在图7(c)中有两个 交叉点,而图7(b)中只有一个交叉点。这些结果反 映出,在电机转动这一简单的实验中,包含有复杂的 动力学内容。但是这种逆向转动的原因,及不同的 拓扑所包含的物理意义还不清楚,有待进一步研究。

8总结

本文将互信息函数应用于动态光散射检测电机 转速的研究,准确地测出电机转速,这一结果与自相 关函数法的结果一致。并且互信息函数法是真正意 义上的相互关联,可得到更多系统的动力学信息,这 些信息常常被淹没于噪声中。

同时,本文将相空间二维重构应用于动态光散射检测电机转速的研究中,从相空间重构图中可以 得出许多的动力学信息,比如系统的二周期性,实验 受外界的噪声干扰等。这些现象有待进一步研究。

 

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